Angemietete Wohnung nie bezogen / Frage wg. Mietzahlung

Ich hatte eine Wohnung angemietet, diese aus persönlichen Gründen aber nicht bezogen und kündigte mit der vereinbarten 3-monatigen Kündigungsfrist. Den Schlüssel zur Wohnung habe ich nie erhalten bzw. verlangt.

Für zwei Monate wurde die Miete jeweils per Lastschrift eingezogen. Anfang des 2. Monats wurde mir mitgeteilt, dass ein Nachmieter gefunden wurde und ich für den 3. Monat keine Miete mehr zahlen brauche.

Drei Wochen vor Ende meiner Mietzahlung entdeckte ich am Klingelschild den Namen des neuen Mieters und 10 Tage vor Ende auch am Briefkasten. Somit gehe ich davon aus, dass mindestens seitdem der neue Name auch am Briefkasten stand, die Wohnung bereits durch den neuen Mieter genutzt wurde und bat beim Vermieter (eine Wohnungsgenossenschaft) um Erstattung der Miete für diesen Zeitraum.

Die Wohnungsgenosschaft möchte mir nichts zurückzahlen und verweist darauf, dass die Pflicht zur Mitteilung erst mit Beginn des Folgevertrages erlischt und behauptet, dass davor MEIN Name drangestanden hätte, was NICHT stimmt. An der Klingel stand die ganze Zeit der Name meines Vormieters und der Briefkasten war zugeklebt.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass der Mietvertrag des neuen Mieters wirklich erst am Monatsersten des dritten Monats begonnen hat. Die zeitigere Nutzung wird nur mündlich vereinbart sein, so wie mir auch angeboten wurde, die Wohnung bereits eher zu nutzen (Allerdings wurde sie vor meinem Mietbeginn saniert und es wurde in der Zeit keine Miete von jemandem dafür gezahlt). Somit hat der neue Mieter die Wohnung auf meine Kosten genutzt. Und das gefällt mir nicht, da es nicht abgesprochen war.

Meine Frage: Habe ich ein Recht auf Mietrückzahlung für den Zeitraum, in der ich noch Miete gezahlt habe, die Wohnung aber bereits anderweitig genutzt wurde?

Ich könnte z.B. die Miet-Lastschrift des 2. Monats zurückbuchen und überweise nur einen Teilbetrag für den 2. Monat. Da ist die Frage, wie rechtssicher das ist … Es geht um einen Betrag, der zwischen 210 und 315 Euro liegt, je nachdem welchen Tag man als Beginn der Neunutzung annimmt.