darf er einfach so ausziehen ?

Unter bestimmten Voraussetzungen darf er das schon. Die Mutter schreibt ja, sie hätten nur eine 3-Z-Wohnung. Hat der Sohn also nun als Erwachsener kein eigenes Zimmer, sondern muss es sich mit seiner kleinen Schwester teilen, kann das einen hinreichenden Grund darstellen. Neben der Privatsphäre kommt noch dazu, dass er keinen Ort hat, wo er in Ruhe lernen kann.
Selbst wenn es keinen Grund gibt und Kind zu Hause wohnen bleiben könnte, aber einfach nicht will, kann er Bafög bekommen - allerdings wird der Satz dann eigentlich reduziert. Er muss ja nicht - also soll er doch bitte selbst sehen, wie er das fehlende Geld zusammen bekommt. Die Eltern sind dann eben nicht verpflichtet, in voller Höhe zu finanzieren.
Soweit ich weiß, müsste die Mutter dann auch nicht zwingend Bargeld geben - sie kann auch in Naturalien - sprich: Essen - zahlen. Bezieht sich dann auch wieder darauf, dass er ja nicht müsste und Mutti dann eben auch nicht zu mehr gezwungen werden soll, als sie zu Hause leisten würde (Essen auf den Tisch bringen ;-)

Aber da ist glaube ich eh ne große Grauzone. Ich höre so oft von Eltern, dass ihr Kind eigentlich nicht hätte ausziehen müssen, wollte aber und bekommt ganz normal Bafög. Ich weiß nicht, in wie fern Das Amt das überprüft oder ob es dann mehr darauf ankommt, dass die Eltern sich gegen zu Hohe Zahlungen wehren und den Grund "kann zu Hause wohnen" geltend machen?