Probleme in der ersten Klasse

Es kann gut sein, dass Dein Sohn noch nicht richtig schulreif ist, wie schon geschrieben wurde.
Dafür spricht sein Alter und dass Du auch den Eindruck hast, dass er noch Zeit braucht.

Es kann auch sein, dass mehr dahinter steckt.
Für Lernstörungen oder Dinge, wie ADS (die Träumer-Variante könnte auch auf Deinen Sohn zutreffen) sind aber eigentlich Kinderpsychiater zuständig und keine Psychologen.

Die Schulen machen immer Stress, wenn Kinder nicht richtig "funktionieren" und damit den Unterrichtsablauf stören.
Die Kinder müssen so, wie alle anderen sein, sonst passen sie nicht in unser Schulsystem.

Grundschullehrer sollen spielerische, aufwendige Methoden anwenden, Kinder mit Lernproblemen und schlechten Deutschkenntnissen fördern, verhaltensauffällige Kinder in den Griff bekommen und alle Kinder da abholen, wo sie stehen. Das ganze soll in Klassen mit bis zu 30 Schülern erfolgen.
Das ist allein zeitlich nicht zu schaffen. Normale Lehrer sind auch nicht für den Umgang mit Lernbehinderungen, Förderung von Kindern, die kaum Deutsch sprechen, Störungen wie AD(H)S, Asperger, etc. und erziehungsschwierige Kinder ausgebildet.
Deswegen machen die Schulen Druck, damit die Eltern möglichst zügig einen Fachmann kontaktieren, der dafür sorgt, dass das Problem schnell verschwindet/sich bessert oder dass das Kind eine Schulbegleitung bekommt.

Übrigens gehen bei vielen Familien mit der Schule vollkommen unerwartet die Probleme los.

Ich würde an Eurer Stelle erst einmal Fakten sammeln, wie, was sagte der Kindergarten und was sagen Trainer/Lehrer von Hobbies des Kindes über ihn.
Dann würde ich versuchen, heraus zu finden, ob Dein Sohn mit dem Schulstoff, abgesehen vom Lesen, wirklich überfordert ist oder ob er vielleicht sogar unterfordert ist, und aus Langeweile dicht macht. Das gibt es nämlich alles andere als selten bei unterforderten Kindern.
Dann macht es Sinn, sich zu überlegen, wie das Kind sonst so tickt und ob das im Kindergartenalter schon so war.
Offenbar hat Dein Sohn ja Schwierigkeiten mit neuen Situationen. Kommt er auch aus dem Takt, wenn die Tage besonders ablaufen, also Weihnachten oder so?
Wie war es vor der Schule mit Dingen, die ihn nicht so sehr interessieren? Tut er sich da schon immer auffällig schwerer als andere Kinder?
Träumt er im Alltag auch so viel und muss ständig angetrieben werden?
Vergisst er oft, was er eigentlich wollte oder Sachen mitzunehmen etc. oder sind das nur die Hausaufgaben, die er "vergisst"?
Ist er besonders impulsiv oder bockig?

Wahrscheinlich werdet Ihr nicht darum herum kommen, einen Fachmann zu kontaktieren, allein schon, weil die Schule sonst immer weiter Stress macht, auch wenn alles darauf hindeutet, dass das Kind nur Zeit braucht.
Ist halt die Frage, ob man die Schulpsychologin nimmt oder gleich einen Kinderpsychiater. Ich würde versuchen, heraus zu finden, was für Erfahrungen andere Eltern mit der Schulpsychologin gemacht haben. Da bekommt man garantiert schneller einen Termin, als bei einem Kinderpsychiater.

Mit dem Lesen haben unsere Kinder sich übrigens zuerst ebenfalls einen abgebrochen. Sie sind dann aber richtig durchgestartet, nachdem der Knoten geplatzt war und lasen schnell dicke Bücher. Das kann bei Deinem Sohn durchaus noch kommen.

Was das Lügen angeht, würde ich dem Kind sagen, dass das auf andere einen ganz schlechten Eindruck macht. Wer ständig lügt, dem glaubt bald keiner mehr. Wenn er Pech hat, verliert er so seine Freunde.
Es klingt vielleicht zu hart für Dich, das so zu machen, aber wenn Dein Sohn einmal bei den anderen Kindern als Lügner unten durch ist, wird es extrem schwierig für ihn, wieder Anschluss zu finden.
Da ist eine harte Ansage der Eltern die sanftere Methode.

Vielleicht wäre es eine gute Idee, mit ihm ein Buch zu dem Thema zu lesen bzw. ihm vorzulesen, wenn er es gerade so frustrierend findet, selbst zu lesen.