Du hast nach der Geburt das alleinige Sorgerecht.

Ihr,der KV und Du, könntet eine Erklärung über die gemeinsame Sorge abgegeben.Du bist dazu aber in keinster Weise verpflichtet.
Der KV hat aber die Möglichkeit, bei Familiengericht die gemeinsame Sorge zu beantragen. Zwar sind die Entscheidungen dahingehend "väterfreundlicher" geworden, aber dennoch ist es eine Einzelfallentscheidung des Gerichts.
Wenn Du Dich bei dem Gedanken an das gemeinsame SR nicht wohlfühlst, dann lass ihn den Weg über das Gericht gehen.
Oftmals sind gerade die Väter, die mit dem gem SR "drohen" ,um Forderungen durchzusetzen, dann letztendlich doch zu bequem, um die Sache vor Gericht durchzuziehen.
Und solange er die Vaterschaft nicht anerkannt hat, wûrde ich mich von ihm schon gar nicht unter Druck setzten lassen. Immerhin zweifelt er ja auch an, der Vater zu sein, sonst wollte er ja keinen Test.
Was fordert er denn?
LG