Ganz entspannt bleiben....

...jetzt bekommst du erst mal dein Babylein, auf Nachfrage gibts du natürlich den Erzeuger an und erwähnst natürlich auch, dass er selbst sich ja offensichtlich nicht sicher ist....dann wird das Jugendamt ihn erst mal anschreiben und ihn bitten, die Vaterschaft anzuerkennen...

Dann soll er seinen Test machen und solange er die Vaterschaft nicht anerkannt hat, ist da eh schon mal gar nix zu wollen.

Das heißt: erst mal hast du eh das alleinige Sorgerecht. Wenn er dann anerkannt hat, kann er das GSH beantragen...dauert dann aber so oder so etwas. Diese Zeit würde ich übrigends nutzen und gleich mal so Sachen regeln, wie Sparbuch anlegen, Pass beantragen ect...also die Dinge, wozu bei geteiltem Sorgerecht sein Einverständnis brauchst.
Falls du einen Umzug -wohin auch immer- in Erwägung ziehst, das dann auch noch vorher erledigen.

Und dann: eben, hängt vom Familienrichter ab, ob er dem Antrag zustimmt

Aber JETZT brauchst du noch gar nix zu machen!