Erschöpft - BV

Für eure familiäre Situation kann dein Arbeitgeber nichts. Wenn es dich - verständlicherweise - belastet, dass dein Mann unter der Woche nicht da ist, müsst ihr versuchen, das zu ändern.
Das BV ist für Frauen da, deren Jobs die Gesundheit der Schwangeren und des Kindes gefährden.
Frag dich selbst, ob das bei dir der Fall ist. Entscheiden kann sowas ohnehin nur der Betriebsarzt.

Die (privat verursache) Erschöpfung (nicht falsch verstehen, du bist nicht schuld, aber die Ursache liegt ja nicht beim Job) ist ein völlig anderes Thema und wäre ein Grund für eine Krankschreibung, wenn die Erholung über die Urlaube nicht ausreicht.

Das ist sicher nicht das, was du hören wolltest. Aber das BV ist eben klar geregelt und kein Ersatz für Krankengeld.