Städtische Kindertagesstätten/freier träger - unterschied?

Hallo ihr lieben,
Frohes neues Lebensjahr erstmal

Ich hab da mal ein paar Fragen. Irgendwie steige ich da nicht so durch.
Wo ist der Unterschied zu einer städtischen Kindertagesstätte und zu einem freien Träger?
Ist der freie Träger eine private Kindertagesstätte, wo man die Kosten selbst komplett übernehmen muss oder bekommt man da auch einen Zuschuss, je nach Einkommen?
Ich habe folgendes Problem:
Ich wollte meinen kleinen (13 Wochen) per online Formular beim Jugendamt hier in unserer Stadt anmelden. Das ist ein voranmeldeformular, was die Stadt hier anbietet und wenn man sich die Seiten der jeweiligen Kindertagesstätten anschaut, wird man auch per link zu diesem voranmeldeformular von Jugendamt geschickt.
Da muss man dann natürlich seinen 1 bis 3 Wunsch des Kindergartens angeben.
Bei uns in der Stadt gibt es 5 städtische Kindertagesstätten und 15 Kindertagesstätten in freier Trägerschaft. Ich muss ehrlich sagen, dass mir beim städtischen Kindertagesstätten nur einer zusagen, wo man sein Kind ab 1 halbtags hingeben kann. Bei einem davon ist dle Krippe erst ab 1,5 und bei dem 3. ist die Krippe nur ganztags. Was ich aber meinem kleinen ehrlich gesagt garnicht zumuten möchte! Und da kommt auch das nächste Problem. Eigentlich wollten wir von hier wegziehen aber jetzt bleiben mein Partner und ich doch hier und so bin ich echten spät dran mit der Anmeldung. Ich bin gerade in Elternzeit und muss Ende September wieder arbeiten gehen(30std) deswegen brauche ich ja noch schnell einen Platz, ansonsten weiß ich nicht wohin mit dem kleinen(wird im September 1 Jahr). Familie haben wir nicht in unmittelbarer Umgebung. Ich weiß aber natürlich dass es jetzt für eine Anmeldung dieses Jahr schon zu spät ist eigentlich aber versuchen muss ich es ja trotzdem! Und die letzten beiden städtischen Kindergärten sind erst ab 3 Jahre. Toll Die kann ich komplett abhaken.
Ich würde gerne auf dem ersten Wunsch einen freien Träger wählen, weil mir da einer besonders gut gefällt. Aber wenn ich da natürlich die kompletten Kosten selbst tragen muss, geht es natürlich nicht. Hab jetzt für den Krippenplatz was von 400€ gelesen.
Wenn es überhaupt noch mit einem Platz klappt dieses Jahr, ansonsten weiß ich auch nicht weiter… und wie sieht es sonst mit einer Tagesmutter aus? Muss man die Kosten da selbst tragen oder bekomme man da auch einen Zuschuss?

Danke für eure Hilfe