Was ich nicht verstehe:

Dein Kind ist 20 Monate alt (= knapp 2 Jahre), und Du bist seit 6 Jahren alleinerziehend?? Da ist irgendetwas ungereimt!

Du schreibst, "außerhalb" der Arbeitszeit würden die Kinder nicht mehr von der Oma versorgt. Ich denke, dieses Glück haben sowieso leider nur die Wenigsten, ob alleinerziehend oder nicht. Selbst verheiratete Eltern müssen sich NACH der Arbeit um den Haushalt UND ihre Kinder kümmern*sorry* Wie steht es mit dem Vater der Kinder? Nimmt er die Kinder nicht jedes 2. Wochenende zu sich? Dann hättest Du ja auch Zeit für Unternehmungen usw.!

Wenn Ihr geschieden seid und der Vater keinen Unterhalt zahlt, steht Dir für 72 Monate pro Kind Unterhaltsvorschuß zu, maximal bis zum 12. Lebensjahr. Da hast Du ja auf jeden Fall Anspruch, wenn das Kind erst 20 Monate alt ist. Wie alt ist das andere Kind?
Oder seid Ihr noch verheiratet und lebt getrennt? Dann könnte es korrekt sein, dass das Jugendamt erstmal nicht zahlt...? Um das beurteilen zu können, müßtest Du allerdings genaueres erzählen. Wurde der Vater bereits vom Anwalt, Jugendamt usw. schriftlich zur Zahlung von Unterhalt aufgefordert??

Was ich auch nicht verstehe: wenn Du VOLLZEIT arbeitest und für Deine Kinder Kindergeld beziehst, müßte das doch für Euren Lebensunterhalt ausreichen. Hast Du alles korrekt geändert, richtige Steuerklasse, Kinderfreibeträge usw.? Und wenn das Einkommen eine bestimmte Grenze unterschreitet, könntest Du Wohngeld beantragen.

Ohne genauere Angaben zu Deiner Situation kann man das leider schlecht beurteilen!