Achtung Lange aber benötige dringend Ratschläge!!

Ich rate dazu, dass Dein Freund einen Termin beim Jugendamt macht und sich beraten lässt wie er dem Kind Stabilität geben kann.
Dann einen Termin mit der Mutter zusammen.
Beim Wechselmodell fällt der Unterhalt nicht weg, das kommt drauf an welch Einkommensunterschiede vorliegen zwischen den Eltern.

Wenn es so ist wie Du schilderst, dann wäre ein stabiles Zuhause bei Euch, mit gutem Umgang zur Mutter für den Kleinen wirklich besser.

Die Mutter scheint Nachholbedarf an Party und Freiheit zu haben.
Das kommt vor, das soll sie auch leben.
Ist nur mit dem Muttersein nicht so vereinbar, daher wäre es auch von ihr verantwortungsvoll wenn das Kind bei Euch seinen Hafen findet.

Vorausgesetzt dem es ist so wie von Dir geschildert.