Nicht so einfach...

Mal vorneweg: falls Dein Kind ziemlich frisch im KiGa ist, würde ich gar nichts machen außer abzuwarten. Dann ist einfach das Immunsystem am Üben. Beim 3. KiGa-Winter würde ich eventuell etwas aktiver sein.
Manche Kinderärzte können auch Allergietests machen. Ob die jetzt so viel bringen, wenn das Kind quasi eine aktive Erkältung hat, sei dahingestellt. Lungenfunktionsprüfungen (das mit dem Gas) gehen ca. ab Schulalter, weil die Kinder da mitmachen müssen. Ein paar Unis haben Spezialgeräte für Säuglinge mit ernsthaften Problemen.
Schimmelpilzallergien gibt es, sie werden aber viel seltener nachgewiesen als gefühlt. Allergien bei 3jährigen, die sich als Asthma äußern, sind generell recht selten.
Auf einen Termin beim Kinderpulmologen wartet man hier ewig. Ein Erwachsenenpulmologe bringt i. A. nichts.
Was üblich wäre, wäre bei ständigem Husten ein Versuch mit Kortisonspray über eine Vorschaltkammer (Spacer) über mindestens ein paar Wochen. Wirkung ist nicht unter 2 Wochen zu erwarten. Wenn es hilft, sollte man es bis zum Ende der Infektsaison weitermachen. Da ist es erstmal egal, ob das hyperreagible Bronchialsystem oder das sehr zeitige Asthma sich bessert. Die Behandlung ist gleich. Danach kannst Du Deinen Kinderarzt fragen.
Grüße,
Jomol