Frage wg Sorgerecht

Vielen Dank schonmal für eure Antworten.
Wir haben uns gemeinsam für das Kind entschieden und es ist ein absolutes Wunschbaby.
Ich bzw. wir hatten schon entschieden, dass ich das alleinige Sorgerecht haben werde. Was ja nicht heißt, dass ich die Entscheidungen alleine treffen werde oder würde. Abgesprochen und entschieden wird trotzdem gemeinsam! Ich denke, es ist ja eigentlich "nur" ein Stück Papier.
So, jetzt habe ich aber gehört, für den Fall, dass mir etwas passieren sollte, das Kind ins Heim müsste, weil der Vater ja keine Rechte hat.
Stimmt das?