Gleichberechtigt Verantwortung übernehmen

Vorneweg: es gibt in der Sache kein pauschales richtig oder falsch in dieser konkreten Frage, da die gleichberechtigte Verantwortung ist vielschichtiger.

Zur Kind-Krank-Tage: vielleicht eine Anregung, wie wir es gemacht haben:
Als die Kinder klein waren, habe ich in akuten Fällen grundsätzlich den 1. Tag übernommen, da ich die flexiblere Arbeit hatte. Tag 2 war Abstimmung zwischen uns beiden (entweder er oder ich oder auf beide aufgeteilt, wie es besser passte). Tag 3 war er verantwortlich.
So hatte er wenigstens 1 Tag sich in der Arbeit zu organisieren. Das war natürlich nicht in Stein gemeißelt, bei Bedarf haben wir kurzfristig angepasst, so wie es für unsere beiden Jobs besser war.
Mir war und ist wichtig, dass wir unsere beiden Jobs als gleichwertig betrachten.

In all den Jahren hatten wir, beide zusammen, denke 2 oder max 3 KK Tage eingereicht.

Mein Rat: beiß dich nicht an dem Thema fest. Begegnet euch auf Augenhöhe und Versuch Lösungen zu finden.

Euch alles Gute