Ich weiß nicht weiter

Erst einmal tut es mir leid, dass du so verzweifelt bist. Ein Kind von Anfang an gleich alleine zu versorgen, ich glaube ich hätte es nicht geschafft. Das machst du super!
Nimm den Rat der anderen an und suche dir Hilfe! Geh mit deinem Kind aus dieser Situation. Babys sind so feinfühlig und leiden auch schon jetzt darunter, wenn angespannte Stimmung ist (und das klingt bei euch ja leider nach Dauerzustand). Das ist kein Vorwurf, nur schau, dass dein Baby in einem gesunden Umfeld aufwachsen kann.

Der Alkoholkonsum deines Freundes ist krankhaft, das muss er selbst einsehen und daran arbeiten. Du kannst das NICHT und vor allem euer Baby kann das NICHT.
Dieser Satz hier von dir hat mich aufmerken lassen: "Ich dachte unsere kleine Tochter kann uns helfen bzw ihm." Dein Baby ist als freier kleiner Mensch auf diese Welt gekommen, lade ihr nicht Verantwortung auf für Dinge, die sie gar nicht ändern kann. Es ist nicht die Aufgabe eines Babys das Alkoholproblem des Vaters zu lösen. Ich weiß man hofft, dann reißt sich jemand zusammen. Die Verantwortung für sein Alkoholproblem liegt aber ganz allein beim Vater. Die Verantwortung für dein Baby solltest DU jetzt übernehmen und weg da...
Ich lebe mit jemandem zusammen, der genau in so eine Situation wie dein Baby geboren ist. Glaub mir es wird deinem Baby schaden und ganz viel kaputt machen, was später in Therapien aufgearbeitet werden muss.
Nimm dein Kind, du weißt ganz genau was es braucht und gib ihm das (mit entsprechender Hilfe von außen).
Ich wünsche dir ganz viel Mut!!!