Wer bezahlt die Beerdigung?

Das ist totaler Blödsinn.

Beerdigungskosten sind Nachlass-Schulden. Wenn der Sohn das Erbe ausschlägt, muss er die Beerdigungskosten auch nicht tragen, weil er dann auch keine Nachlass-Schulden trägt.

Das kann man aber direkt mit dem Bestattungsunternehmen klären.

Und sinnvoller Weise wäre es dann auch ratsam, dass dass der Mann zusammen mit der TE die Erbschaft für die Kinder ausschlägt.