stimmt das wirklich ???

Das stimmt nicht.
Der Vater muss es beantragen.
Allerdings ist es zum Glück dahingehend geändert worden dass die Mutter belegen muss warum das das Kindeswohl gefährdet.
Kann sie das nicht, dann wird er es bekommen.

Aber mach Dich nicht verrückt, es ist minimal wofür man die Unterschrift dann braucht.
Und auch ohne Sorgerecht hat er immer ein Umgangsrecht.