Also das Amt zahlt irgendetwas an die unterbringende Familie?

Dann wäre das Amt erst mal der Ansprechpartner um zu klären, um was für eine Art Mietverhältnis es sich da handelt.
Ein echter Mietvertrag, bei dem das Amt echte Miete zahlt oder zahlt das Amt zB nur eine Art Aufwandsentschädigung dafür, dass man einer Familie Unterbringung gewährt?

Ist die Wohnung richtig vermietet und das Amt nur Zahler (wie bei Sozialhilfe etc), hat die Familie natürlich ein Recht darauf, dass niemand unangekündigt in ihrer Wohnung steht.

Aber ich könnte mir eben auch vorstellen, dass es sich vielleicht eben genau nicht um eine regelrechte Vermietung handelt, sondern eben so etwas wie "wir könnten Platz anbieten" und dafür wird dann eben eine Entschädigung gezahlt.
Oder eine Art Untervermietung - bei der Raum x eben nicht mit vermietet wurde.

Aber auch dann hätte die Familie wohl gewisse Rechte und muss sich nicht alles gefallen lassen. Aber hat eben auch keine echt eigene Wohnung nur ihrer rein privaten Nutzung.

Aber ja - ich würde erst mal klären, um was es sich hier überhaupt handelt.