3jährige extrem schüchtern

Oha, das klingt fast wie meine in dem Alter. Vielleicht ist deine Tochter auch so sensibel, sehr sozial, kümmert sich um kleinere, erkennt Stimmungen und richtet sich danach. Zu viele Menschen auf einem Haufen verursachen Gefühlschaos. Meine ist inzwischen 5 und in den letzten zwei Jahren hat sich viel getan. Inzwischen geht sie fast schon zu selbstbewusst auf Fremde zu, weiß genau was sie will (auch wenn sie evtl in ein paar Minuten genau weiß, dass sie jetzt was anderes will ;-)), kümmert sich intensiv um Jüngere Kinder etc.
Aber sie ist auch sehr verträumt, kann sich nur schwer auf (uninteressante) Aufgaben konzentrieren, gibt immer noch schnell auf, wenn etwas nicht gleich klappt. Zum Fahrradfahren musste ich sie zwingen, sonst hätte sie sich bis heute kein zweites Mal draufgesetzt. Ihren eigenen Namen konnte sie eigentlich mit 3 ½ schreiben, hat dann aber mal einen einzigen Fehler gemacht und sich seitdem geweigert. Das E hatte einen Strich zu viel ;-). Usw.

Ich würde die Kleine erst mal aus dem Turnen rausnehmen. In einem Jahr schaut es wieder ganz anders aus. Im Moment ist es für sie purer Stress.

Ich war als Kind so ähnlich, kann also,vieles nachvollziehen. Wobei ich in vielen Dingen eher ehrgeizig war, aber ich habe immer darauf geachtet, dass mich niemand beim Üben beobachtet, bis ich soweit bin, das Gelernte öffentlich zu machen. Mag das heute noch nicht ;-). Mit dem Alter lernt man damit umzugehen, in kritischen Situationen selbstbewusst zu tun und sogar zu sein.
Ich merke das mittlerweile auch bei meiner Tochter, dass sie manchmal nur so tut, als wäre sie die Obercoole ;-), in Wahrheit überspielt sie nur ihre Unsicherheit.