Antrag auf Kinder- und Elterngeld

Hallo ihr Lieben, ich weiß, dass das nicht der passendste Forum für diese Frage ist, aber vielleicht kennt sich jemand hier aus und kann weiterhelfen.
Kinder- und Elterngeld beantragt man ja nach der Geburt und man schickt den an Antrag an die zuständige Familienkasse und Elterngeldstelle. Die Bearbeitung des Antrags kann ja mehrere Wochen bis Monate dauern. Wir ziehen ca. einen Monat nach der Geburt in ein anderes Bundesland und ich frage mich, wohin ich die Anträge senden soll.. dort, wo ich aktuell wohne, oder wo ich später wohnen werde. Ich muss ja schon an dem neuen Ort gemeldet sein, vermute ich, um den Antrag überhaupt dort stellen zu können? Und einen Monat nach der Geburt die Anträge zu stellen, wäre nicht so klug.
Bei einem Umzug muss man die Elterngeldstelle und die Familienkasse informieren. Meine Sorge ist, dass dies die Bearbeitung des Antrags weiter verzögern würde oder dass der Bewilligungsbescheid nach dem Umzug an die alte Adresse gesendet wird. Was würdet ihr mir raten?