Unterhaltsvorschuss trotz Beistandschaftsbeendigung

Ich fürchte, das Kind ist bei dir schon in den Brunnen gefallen.

Du hast ihn als Vater angegeben. Der normale Hergang ist, dass das Jugendamt den angegebenen Vater zwecks Vaterschaftsanerkennung anschreibt. Verweigert er diese, wird ein Vaterschaftstest angeordnet - ganz egal, ob er das will oder nicht. Er MUSS diesen Test machen. Spätestens dann steht er als Vater fest und ist dann unterhaltspflichtig und muss die UVZ dem Jugendamt zurückzahlen.

Das Sorgerecht bleibt erst einmal bei dir. Der Kindsvater hat aber die Möglichkeit, das gemeinsame Sorgerecht zu beantragen - und in der Regel bekommen die Väter es auch ohne große Probleme.
Aber auch unabhängig vom Sorgerecht hat er das Recht auf Umgang mit dem Kind, wenn er diesen will. Das kannst bzw. solltest du nicht verhindern. Ganz im Gegenteil: Du bist dazu verpflichtet, den Umgang zu ermöglichen und sogar zu fördern.

Ich weiß nicht, was vorgefallen ist, dass du nicht willst, dass der Kindsvater keinerlei Rechte am Kind hat, aber vereinbare mit dem Jugendamt, dass du die Beistandschaft wieder in Anspruch nehmen willst. Mit dieser verringert sich die Kommunikation mit dem Kindsvater bzgl. des Kindes auf so gut wie Null.