Kind hat einen Schaden...

Wenn du deine aufsichtpflicht verletzt hast, müsste deine Haftpflichtversicherung den schaden übernehmen. So war es mal bei uns.
Ich würde den geschädigten erstmal an die Versicherung verweisen. Immerhin hast sie ja abgeschlossen hast, damit sie Forderungen dir gegenüber prüft und ggf. Reguliert. Eltern haften nicht pauschal für ihre Kinder!
Ich würde eine rechtliche und eine moralische schuld trennen. Rechtlich müsstest du mmn den schaden nicht übernehmen (ggf. Deine Versicherung). Ob du dich moralisch verantwortlich fühlst, musst du dich selbst fragen.