Wie läuft das eigentlich hinterher ab?

Das hängt sehr vom KH ab. Besprich am besten deine Wünsche dort! In den meisten KH bekommt der Vater das Kind nackt auf die Brust gelegt, wenn die Mutter nicht verfügbar ist, aber es gibt auch noch KH der "alten Schule". Vorher nachfragen ist daher wichtig!
Ich persönlich würde immer darauf bestehen, dass ich als Mutter beim ersten Baden und anziehen und auch der U1 dabei bin. Nichts davon eilt so sehr, dass man nicht warten könnte bis die Mutter aus der Narkose erwacht ist. Bis dahin darf gerne der Vater mit dem Kind kuscheln. Es macht oft eine großen psychologischen Unterschied ob man das Kind nackt auf die Brust gelegt bekommt oder schon "fertig" im Glaskasten präsentiert bekommt.