Arbeitsvertrag, Elternzeit, neuer Job??

ja, du musst dein altes arbeitsverhältnis kündigen, und zwar fristgerecht. kündigungsfrist steht entweder im vertrag oder ist gesetzlich geregelt.

was die neue firma betrifft: du musst nicht zwangsläufig erwähnen, dass du noch in einer anderen firma angestellt bist im anschreiben, aber im lebenslauf ist es ja zu sehen.
du kannst da einfach schreiben "ich stehe ihnen ab dem ...... zur verfügung" (nach der kündigungsfrist eben).

lg