Was bedeutet besteht eine häusliche Gemeinschaft? Unterhaltsvorschuß

Ja, Dein Freund muss dort eingetragen werden.

Grundsätzlich steht zur Prüfung, ob Dir ein fiktives Einkommen angerechnet werden muss, Du sparst ja Geld durch das zusammen leben.
Wenn Du kein eigenes Einkommen hast, finanziert Dich Dein Freund. Das errechnete fiktive Einkommen könnte dann zur Deckelung des Mindestunterhalts herangezogen werden.

Ich würde einen 400 Euro Job annehmen und den Unterhalt für mein Kind bezahlen.