das Jobcenter möchte, dass Du arbeiten gehst....? Die Formulierung ist doch seltsam.....

Die Berufstätigkeit geht nicht nur vor, sondern ist eigentlich selbstverständlich.
Und zwar nicht auf Kosten der Kinder, sondern FÜR die Kinder bzw. FÜR Euch alle!
In erster Linie bist Du in der Pflicht, für Euren Lebensunterhalt aufzukommen oder zumindest alles mögliche zu tun, um einen großen Teil Eures Bedarfs selbst zu erwirtschaften. Niemand sonst....

Viele andere Eltern haben diese Wahl erst gar nicht, weil beide berufstätig sind und eine Schule, die einen Arbeitsalltag ausschließen würde, gar nicht erst in Erwägung gezogen wird!

Um Deine Frage zu beantworten: das Jobcenter kann Dich nicht zwingen, die Kinder in eine andere Schule zu bringen. Es kann Dich aber "zwingen", arbeiten zu gehen.
Deine Vorstellungen sind ein wenig blauäugig, wie ich finde....

Mach Dich selbst auf die Suche, statt Dich vom Jobcenter "unter Druck setzen" zu lassen....
Einen Hort wird es in der Schule sicherlich geben. Ich kenne keine Schule, die keine Hortbetreuung anbietet!
Melde Deine Kinder dort an und such Dir eine Arbeitsstelle, die die Fahrerei zulässt.
Sollte das nicht möglich sein, wirst Du das Umschulen in Erwägung ziehen müssen....