Er kann

http://www.jugendaemter.com/index.php/haben-auch-nicht-verwandte-ein-umgangsrecht/

Hier ist ein Fall beschrieben, in dem negativ für den Besuchsvater entschieden wurde. Aber aus nachvollziehbaren Gründen.

Da der Mann über den wir hier sprechen ja Verpflichtungen bzw. verantwortung übernimmt hat er im Umkehrschluss auch ein Umgangsrecht erwirkt.
Aber die Gerichte lassen natürlich "das Erziehungsrecht der Eltern nach Art. 6 GG (Grundgesetz)" über allem stehen. Ob klagen lohnt....ich kann es ehrlich nicht beurteilen...