Vater des Kindes....was soll man nur machen....

Hm, ohne dass es ein Angriff sein soll, aber zum einen scheint er keine Eier in der Hose zu haben, zum anderen hast Du den Umgang wohl zu sehr begluckt.
Ein Jahr, dann war sie 15 Monate, da kann er auch mal alleine mit ihr auf den Spielplatz gehen, da musst Du nicht dabei sein.

Überlege Dir wer eine erneute Annäherung begleiten kann ( nicht Du ) und dann mache einen Termin beim Jugendamt für ein gemeinsames Gespräch.
Da könnt ihr dann moderiert besprechen wie es laufen kann.

Wegen Sorgerecht : Hat er irgendwann Zugang und Bindung zum Kind, dann spricht nix dagegen es gemeinsam auszuüben.

Da Du dies hier postest ist es Dir ja schon ein Anliegen mit dem Kontakt, dann versuche es und nehmt Euch beide etwas zurück, es geht uns Kind.
Und mit 27 Monaten ja auch nicht mehr so klein.