Nein, darf sie nicht

Sie darf nicht einfach umziehen, wenn er nicht dem nicht zustimmt, da es ein GSR gibt. Innerhalb diesem darf eine solche Entscheidung keiner alleine treffen. Ist einer dagegen, muss das ABR geklärt werden. Dann wird relevant, wer sich besser kümmern kann. Aber das entscheidet eben das Gericht.

Es ist also falsch zu behaupten, er kann sich eh nicht kümmern, daher darf sie umziehen.

Es mag wahrscheinlich sein, dass das Gericht zu ihren Gunsten entscheiden wird - das als Fakt hinzustellen, ist aber falsch.

Das GSR bleibt dann übrigens dennoch bestehen, ebenso wie das Recht auf Umgang. Wobei die Mutter dann dafür sorgen muss, dass der Vater sein Kind sehen kann und im Zweifelsfall eben auch die Kosten dafür tragen, ihm den Umgang zu ermöglichen.