Nein, darf sie nicht

Es ist ganz klar gesetzlich geregelt. Und die Tatsache, dass er sich nicht kümmern könnte, greift nicht. Es geht beim GSR und einem Umzug nämlich nicht darum, wer sich am besten kümmern könnte. Um so etwas geht bei der Beantragung des ASR oder ABR.
Das GSR heißt schlicht und ergreifend, beide Elternteile müssen einem Umzug zustimmen. Tut ein Elternteil das nicht, wird eben im Zweifel ein Familiengericht entscheiden, ob die Mutter mit Kind umziehen darf oder nicht.
Zieht die Mutter wissentlich der Nicht-Zustimmung des Vaters einfach trotzdem um, macht sie sich tatsächlich sogar bei GSR eigentlich des Kindesentzuges strafbar (sofern der Vater dies zur Anzeige bringen würde).
Aussagen wie "er kann sich ja gar nicht kümmern, daher darf sie umziehen" stimmen also nicht. Zieht sie einfach um ohne seine Zustimmung und das sogar 200km weit weg, erschwert sie wissentlich und ohne Not den Umgang erheblich. Das wird ihr eher zum Nachteil gereichen was die vermutlich folgenden Sorgerechtsstreitigkeiten angeht.

Ab vom Rechtlichen: er ist ein treusorgender Vater wenn er Zeit hat - warum will sie ihrem Kind das nehmen? Bei 200km ohne Auto weiß sie doch wohl ziemlich genau, dass Umgang eher selten stattfinden wird. Und dabei ist sie eigentlich sogar verpflichtet, Umgang zu fördern - mit dem Umzug würde sie genau das Gegenteil tun.
Es gibt Richter, die reagieren da sehr allergisch drauf.
Das sieht dann nämlich schnell so aus: Vater tut alles, um seine Familie irgendwie über die Runden zu bringen, sie findet die viele Arbeit aber blöd (arbeitet sie selbst eigentlich auch und entlastet ihren Mann evt etwas damit?) und will sich deswegen trennen und entzieht ihm dabei gleichzeitig die Möglichkeit, überhaupt noch Vater sein zu können.
Da kann man sich ausrechnen, wie gut das ankommt...