Was ist zu beachten bei ...

Ist das Paar verheiratet, dann ist der Gang zum Anwalt m.E. ein Muss.

Geklärt werden muss die Leistungsfähigkeit des arbeitenden Elternteils bezüglich Trennungs- und Kindesunterhalt.
Außerdem muss dann der arbeitende Elternteil über den eventuellen Auszug der Kinder informiert werden und muss diesen genehmigen.

Ist das Paar nicht verheiratet, muss geprüft werden, ob Betreuungsunterhalt gezahlt werden muss/kann (jüngstes Kind < 3 Jahre). Das sollte ggf. über einen Anwalt berechnet werden.
Sind die Kinder allerdings schon älter, dann kann man sich den Gang sparen. Kindesunterhalt rechnet das Jugendamt kostenfrei aus.
Haben die Eltern das gemeinsame Sorgerecht hat der arbeitende Elternteil beim Auszug auch ein Wörtchen mitzureden.