Haben wir dann beide Sorgerecht?

Nein, das ist nicht das selbe. Mit der Vaterschaftsanerkennung sind "nur" Besuchsrecht, Erbrecht und Unterhaltsanspruch geregelt. Sie liegt in deinem Interesse und in dem des Kindes. Das gemeinsame Sorgerecht muss gesondert beantragt werden. Das kann man dir aber alles genau beim JA erklaeren.

LG
Berit