Kündigung zum Quartalsende neuer Vertrag beginnt 4 Wochen später

Hallo!
Ich habe die Frage schon Frau Bader gestellt, leider gehört sie doch eher in RUB. Deshalb hoffe ich auf Antworten hier von Leuten die Ahnung haben.

Ich möchte meinen jetzigen Arbeitsvertrag (Festangestellte Tagesmutter) beenden. Meine Kündigungsfrist ist 6 Wochen zum Quartalsende. Das wäre dann der 30.6. mein Problem ist jedoch, dass mein neuer Vertrag erst ab dem 1.8. beginnt.

Ich habe somit ein finanzielles Problem, da mir ein Monatseinkommen fehlt.

Mein Plan ist eigentlich mit dem Arbeitgeber zu sprechen und anzubieten bis zum 31.7 meine Arbeitskraft zur Verfügung zu stellen. Wie müsste ich das in der Kündigung formulieren. Da zum selben Zeitpunkt auch zwei (drei) weitere Kolleginnen kündigen werden, kann ich mir vorstellen, dass er darauf eingehen würde.

Falls nicht, gibt es dann eine Härtefall Regel, dass das Arbeitsamt mir den Monat finanziert, da ich keine andere Möglichkeit habe?

Vielen Dank!

Lg