Kündigung zum Quartalsende neuer Vertrag beginnt 4 Wochen später

So, wie es Kravallie beschrieben hat, kenne ich es auch von einer ehemaligen Kollegin von mir.
Eine andere Möglichkeit wäre eventuell, mit dem AG zu reden, ob man zu deinem Vertrag eine nachträgliche Vereinbarung im Hinblick (und damit Änderung) auf die Kündigungsfrist aufstellen könnte.