Zusammen schreiben lassen ?

Hallo ihr Lieben
Wie gehts euch ?

Also ich habe da mal eine Frage, und es wäre wirklich toll wenn ihr mir helfen könntet.
Ich bin seit 2 1/2 Jahren mit meinem Partner zusammen, wir erwarten im Juni unser erstes Kind und haben uns überlegt ob wir uns event. zusammen schreiben lassen
Ich war am Anfang erst nicht so begeistert von dem Vorschlag ( da unsere Beziehung auch in letzter Zeit nicht so super lief ) aber jetzt freunde ich mich iwie ein bisschen damit an

Nun meine eig. Frage(n) :
Lässt man sich auf dem Standesamt zusammen schreiben ?
Ist man da quasi verheiratet ?
Nimmt man dort gleich den anderen Namen an ?
Wieviel kostet das ca. ?

Würde mich sehr über Antworten freuen