mal was anderes wer weiß rechtlich bescheid?

Ich bin zwar keine Arbeitsrechtlerin, aber ich fürchte dein AG darf die Abmahnung erteilen (auch wenn ich finde, dass das bei einem ersten "Verstoß" schon hart ist).
Du hast dich vom Arbeitsplatz entfernt. Das durftest du nicht, ohne einen trifftigen Grund. Dein Grund war dein Kind, aber du hast keinen Nachweis eingereicht. Woher soll der AG wissen, dass du das nicht vorschiebst und im Kino warst? Auch wenn du arbeiten warst brauchst du einen gelben. Wie die bereits gearbeiteten Stunden gewertet werden sei dahin gestellt (Überstunden evtl.). Wenn du auf der Arbeit Fieber bekommst und zum Arzt gehst brauchst du auch einen. Ist mit Kind nicht anders.
Mit vom Kiga abholen, hast du das im vorfeld abgesprochen und dir das ok geholt? Dann wäre es ja abgenickt und deshalb keine Abmahnung.
Wenn du es genau wissen willst geh zum Ra für Arbeitsrecht. Der kann es dir genau sagen.