Was würdet ihr mir raten?

Genau das würde ich mir sehr genau überlegen: rechtlich darf der Chef gar keine Kur verweigern und wenn er sich halbwegs auskennt, äußert er das auch nicht.

Vielleicht bin ich jetzt die Ausnahme und in anderen Unternehmen stellt das kein Problem dar, aber wenn bei uns ein neuer Mitarbeiter, der eingestellt wird, gleich mit 3 Wochen Kur beginnt, wird das sicher nicht positiv ausgelegt. Die Firma braucht in dem Moment eine Kraft und nicht 3-4 Wochen später. Außerdem ist es heute auch häufig leider so, dass eine Kur gleichbedeutend ist, mit der Arbeitnehmer ist nicht belastbar.

Ich persönlich würde mir überlegen: kann ich meine Arbeitskraft überhaupt erhalten (aus gesundheitlicher Sicht), wenn ich nicht gehe (wenn nein, ist es natürlich keine Frage, dann muss die Kur gemacht werden) und wie sind meine Chancen auf dem Arbeitsmarkt, wenn ich den Job dann doch nicht behalte.

Beim Chef würde ich nicht fragen, wenn meine Entscheidung nicht feststehen würde. Das hätte ich allenfalls im Vorstellungsgespräch gemacht: "Ich kann erst zum Zeitpunkt X/Y starten."