nachträglich gemeinsames sgr

Natürlich. Du lebst ja sogar mit Deinem Kind zusammen.
Steht die Trennung denn schon im Raum ?
Ihr könnt gemeinsam zum Jugendamt gehen und das Sorgerecht regeln.
Verweigert sie dies, würde ich das an Deiner Stelle umgehend bei Gericht beantragen. Das geht formlos und Du brauchst auch keinen Anwalt unbedingt.

Dies zu machen wo ihr noch zusammenlebt wird es zur reinen Formsache machen.