Kindergarten kosten?

Steck es der Unterhaltsvorschusskasse mit der Schwarzarbeit oder beende die Beistandschaft ( nicht den Vorschuss ) und nehme einen Anwalt.
Die sind mehr hinterher oft.

Das Einkommen Deines Partner, wie oben erklärt, von Ort zu Ort unterschiedlich, das musst Du also bei Dir erfragen wie es dort gemacht wird.
Wenn ihr zusammen lebt dann gibt es Gemeinden wo Euer beider Einkommen genommen wird.

Die Umgangsfrage war rein aus Interesse, denn Du selbst schriebst ja er würde zahlen wenn er auch Rechte bekommt.
Mies das übers Geld zu machen von ihm, aber wenn er sich kümmert kann er es sofort einklagen und wird es bekommen.
Und das tut er. Vielleicht denkst Du da noch einmal drüber nach ob ihr Euch da treffen könnt.
Ihr beide spielt Eure Machtpositionen aus.