sie kann mit dem kind nicht einfach ausziehen

Natürlich ist niemand gezwungen, mit einem ungeliebten Menschen zusammen zu wohnen. Sie kann auch problemlos ausziehen und sich eine eigene Wohnung suchen, das ist nicht das Thema.

Aber bei gemeinsamen Sorge- und Aufenthaltsbestimmungsrecht müssen die Eltern sich nun mal einigen, wo das Kind wohnt, und wenn sie sich auf eine Änderung der Verhältnisse nicht einigen können, bleibt das Kind da wohnen, wo es jetzt wohnt. Sprich: In der bisherigen Familienwohnung. Und da der Vater gesundheitsbedingt komplett zu Hause ist, während die Mutter arbeitet, sähen die Chancen für ihn gar nicht schlecht aus, dass ihm das Aufenthaltsbestimmungsrecht zugesprochen würde, im Falle eines Rechtsstreits.

Der Vater muss nicht akzeptieren, dass die Mutter einseitig beschließt, ich zieh jetzt mal mit dem Kind weg. Auch wenn die Mutter nur ins Nachbarhaus ziehen wollte - mit Kind kann sie das ohne Zustimmung des Vaters aber nun mal nicht.

Anderer Weg wäre dann das Thema "Zuweisung der Ehewohnung" im Rahmen einer Scheidungsauseinandersetzung. Nicht besonders schnell... ups, ich sehe gerade, sie sind nicht verheiratet. Wie dann die Zuweisung der Familienwohnung läuft - habe ich spontan keine Ahnung. :-/