Meine Tochter und "Sprechhemmungen"

Vielleicht gibt es hier Eltern, die Erfahrung im Zusammenhang mit schüchternen Kindern gemacht haben.
Meine Tochter wird im März 5, sie hat als Baby sehr stark und sehr früh gefremdelt und hatte Angst vor plötzlichen Geräuschen. Das mit den Geräuschen hat sich gelegt. In vielen Situationen ist sie auch sehr offen. Sie ist im Kiga sehr gut integriert und kommuniziert mit allen. Sie geht zum Turnen und bleibt dort ohne Probleme. Wenn beim Turnen das Spiel "Feuer, Wasser..." gespielt wird, ist sie in der Lage das Kommando zu geben, wenn sie an der Reihe ist. Sie geht auch zum Tanzen und spricht dort auch. Jetzt zum eigentlichen Problem. Sie grüßt nicht, vor allem Fremde und antwortet nicht wenn sie angesprochen wird, sondern lächelt verlegen. Mit meiner besten Freundin, die sehr offensiv ist, wechselt sie auf Anhieb auch kein Wort. Ich weiß nicht mehr wie ich damit umgehen soll. Bei der U8 hat sie gut mitgemacht. Wir haben sie auch auf Mutismus überprüfen lassen, aber auch mit der Therapeutin sprach sie. Die Therapeutin meinte, sie wäre halt sehr schüchtern, aber in dem Alter sei das noch normal.
Meine Frage ist, wie kann ich sie dahingehend fördern, dass sie offener wird. Grundsätzlich spricht sie mit allen Leuten, die sie länger kennt, aber mit neuen und unbekannten Personen, die sich z. B. mit mir unterhalten spricht sie nicht. Ich denke da so langsam an die Vorschuluntersuchung und an die Schule.
Ich hatte immer gedacht, es wird besser, wenn sie größer wird, aber da passiert irgendwie nichts. Zu Hause ist sie natürlich ein kleiner Wirbelwind.

Hat jemand Tipps?
Vielen Dank und LG Ines