ich hab das hier noch nie gefragt

Das vereinbarte Arbeitsentgelt ist auch in der Einarbeitung zu zahlen. Das Ist m.E. auch so üblich. Alles andere müsste entsprechend im Arbeitsvertrag als Vorpraktikum/Probearbeiten o.ä. Gekennzeichnet sein.

Wenn Du nach Stunden bezahlt wirst, dann gehören der Gang zur Bank, Vor- und Nacharbeiten zu den anrechenbaren Stunden.

Was ich nicht verstehe: Kundin kommt kurz vor Schluss, und Du lässt die Tür offen, damit noch andere Kunden eintreten können? Ich kenne das so, dass die Tür dann ggf. schon abgeschlossen ist man den Kunden dann eben extra raus lässt.
M.E. darf man solche Kunden auch auf die Öffnungszeiten aufmerksam machen und bitten noch einmal zu kommen.

Formuliere Deine Fragen zum AV schriftlich und lass Dir die Annahme bestätigen.
Außerdem würde ich - wie schon angeregt "Früh- und Spätdienst" einführen, damit jeder auf seine Stunden kommt, aber auch keiner x Stunden in der Woche mehr machen muss. Mit Kasse und Bank kommt der Spätdienst dann so um die 45 Minuten später als der Frühdienst, der dann entsprechend früher geht. Lasst euch das vom Chef absegnen, wenn die Auszahlung der Stunden nicht klappt/passt.

Ansonsten: neuen Job suchen und dann solche Fragen vor dem ersten Arbeitstag klären.