Hilfe

Wenn Du nicht zahlungsfähig bist, dann zählt das Amt den Vorschuss und es laufen keine Schulden bei Dir auf !
Gehe selbst zum Jugendamt und erkenne die Vaterschaft an. Sie wird dann angeschrieben dass sie dem zustimmen soll
Macht sie es nicht, dann kannst Du selbst auf Feststellung der Vaterschaft klagen.

Bist Du denn sicher dass Du der Vater bist ? Bei so komischen Aktionen von ihr würde ich da genau überlegen.

Wenn Du über 18 bist würde ich an Deiner Stelle zusätzlich das Sorgerecht beantragen für Dein Kind.
Wenn sie in so einer Einrichtung lebt ist sie vermutlich noch minderjährig?