Großzügigkeit muss man sich leisten können.

ich sehe das ähnlich wie Sternschnuppe: Du bist ganz sicherlich nicht in der Position den Ex einfach mal aus dem Mietverhältnis zu entlassen, weil er Dir so leid tut und Du ja nicht einfach alles auf ihn "abladen" kannst.

Dass Ihr Euch getrennt habt - diese Entscheidung habt Ihr gemeinsam getroffen. ER ist ausgezogen, aber ER kann nicht einfach so einen Berg Scherben hinterlassen. Wenn ich das richtig verstanden habe ist er laut MV sogar der alleinige Mieter, richtig? Rein THEORETISCH musst Du jetzt gar nichts machen! Er ist in der Pflicht, sich aus dem MV rauszukündigen und dem Vermieter zu verklickern, dass Du jetzt dort wohnst. Du hast außerdem, nebenbei bemerkt, einen sehr kulanten Vermieter erwischt, denn dieser hätte auch sagen können, dass er Dich als alleinige Mieterin nicht akzeptiert...

Sollte ich das falsch verstanden haben und Ihr beide im MV stehen und Du möchtest jetzt lediglich, dass der MV auf Dich als Alleinmieter umgeschrieben werden, so muss der zweite Mieter, also Dein Ex, rein rechtlich gesehen trotzdem die Fristen des BGB wahren - und da brauchst dann nur mal nach gesetzliche Kündigungsfristen für Wohnraum raussuchen. Bis dahin ist Dein Ex nicht von der Mietzahlung befreit, Ihr müsst Euch das weiterhin teilen. Dass ER die Bude verlassen hat und wieder zu Mama gezogen ist, kann jetzt nicht zu Deinen alleinigen Lasten gehen!

Ich kann mir außerdem nicht vorstellen, dass das Amt sich auf die Aussage "der ist aber schon längst ausgezogen" einfach so verlässt. Das ist auch nachvollziehbar (da könnte ja jeder kommen) Möglich wäre hier, dass Du Dir a) eine Bestätigung vom Freund holst, dass er auszieht, b) dass Dein Freund den Wohnraum kündigt und man dem Amt das Kündigungsschreiben (mit Empfangsvermerk durch den Vermieter) vorlegt und/oder c) auch noch eine Bescheinigung vom Vermieter vorlegt, dass Du demnächst die alleinige Mieterin bist.
Wie Du aber selbst schon festgestellt hast, wird es schwierig werden, diese Wohnung zu halten, auch mit staatlichen Hilfen, denn dem Amt musst Du dann erstmal "beweisen", dass Du ausgerechnet in dieser Wohnung bleiben musst (musste ich damals machen, als ich ALG II bekam - allerdings hatte ich tatsächlich genug Beweise, in einer 68 qm-Wohnung zu bleiben und es gab bei mir damals auch vergleichbar nichts anderes!) bzw. musst die Differenz dann selbst draufzahlen.

Das Nächste: Wo ist denn der KV? Zahlt er Unterhalt, bekommst Du UHV?

Muttern das Kind zur Pflege geben und Geld zustecken - Schwarzarbeit ;) Und ja, leider ist das heutzutage so, dass das Amt, sofern sie sich dann finanziell beteiligen müssen, gern einen Nachweis hätte, dass man hier eine geprüfte Pflegekraft vor sich hat. Da stellen sich sogar zum Teil die Krankenkassen quer. Als ich damals wegen einer OP im KH lag und meine Ma spontan ihre Vollzeitarbeit niederlegte und mein damals noch nicht mal ein Jahr altes Kind betreute, weigerte sich die Krankenkasse den Lohnausgleich zu zahlen, da es sich bei der Betreuungsperson eine Person 1. Verwandschaftsgrades handele und (das stand sogar so im Anschreiben!) man "erwarten kann, dass die Oma das gern macht..."