du musst nicht auf eigene Kosten fahren.

er darf, ja, aber das setzt auch einen kooperativen Mitarbeiter voraus, der ehrlich ist und sagt, was er hat und auch gewillt ist, bei arbeitsunfähigkeit andere aufgaben zu verrichten.
zwingen kann man niemanden und wegen Krankheit kündigen ist schwer.
darauf läßt sich ein erfahrener Personalchef nicht ein.