Vater angeben...

Zunächst einmal bekommen Väter eines unehelichen Kindes seit Jahresbeginn (Gesetzesänderung!!) sehr wohl das gemeinsame Sorgerecht, wenn sie es wollen und beantragen. Da haben die Mütter - gottseidank - kein Mitspracherecht mehr, ggf. entscheidet ein Gericht.
Umgangsrecht hat er auch, will er dies wahrnehmen, kann sie das auf Dauer nicht verhindern. Das Kind hat ein gesetzlich verbrieftes Recht auf Umgang mit dem Vater, auch wenn dies gegenüber dem Vater nicht eingeklagt werden kann.
Insofern ist dies ein typischer Fall der Vermengung von Paar- und Elternebene.

Desweiteren kann er ihr das Kind nicht so einfach wegnehmen. Sie hat durch die Natur (Stillzeit, damit besondere Bindung usw.) einen Vorsprung, den er so ohne weiteres nicht wird einholen können. Das sollte sie ganz entspannt sehen. Solange sie sich nicht Schwerwiegendes zuschulden kommen läßt wie Vernachlässigung des Kindes aufgrund Drogenkonsums o.ä. wird er ziemlich machtlos sein.

Das Kind hat Unterhaltsanspruch, und sie auch.

Es gibt keinen Grund, den Vater nicht anzugeben. Beim JA sollte sie sich Hilfe und Informationen holen

Ralph