Immer noch Kampf mit KV - möchte Kind alleine haben

Hallo ihr Lieben.
Meine Kleine ist nun mittlerweile 1,5 Jahre alt, die Kita Eingewöhnung beginnt in 3 Wochen.
KV und ich hatten eine Beratung (vor ca 6 Monaten) beim Jugendamt und abgemacht, dass er jeden Sonntag um 11:30 kommt und bis 18:00 bleibt (er wollte es so lange). Die Beraterin hatte auch zugestimmt, dass es erst mal mit mir zusammen sein soll, aufgrund der Unzuverlässigkeit und der andauernden Absagen seinerseits. Immer noch hält sich KV nicht an Absprachen und kommt zu spät, ließ sie im Kinderwagen überhitzen etc. 100 Vorfälle gibt es da.

Nun kam der Knüller. Die Dame vom JA rief mich an und sagt der KV hat sich an sie gewendet, weil er nicht weiter weiß und ich es ihm so schwer machen würde und seine Familie die Kleine ja nie sehen würde. Dass er andauernd verschiebt und seine Familie sich nie meldet und kein Interesse zeigt hat er nicht erwähnt. Die Beraterin sagte dann, dass die Familie und er Zeit mit unserer Tochter verbringen möchten und nicht mit mir und dass die Familie sich nicht trauen würde sich bei mir zu melden, da sie Angst haben, ich könnte den Kontakt unterbinden. Ich bin aus allen Wolken gefallen. NIEMALS habe ich nur ansatzweise etwas in die Richtung getan oder gesagt. Ich schlage immer wieder vor, wir können uns gerne treffen. Aber es kommt nix.
Die Beraterin meint, ich solle bitte mit dem KV kooperieren, ansonsten klagt er sich das geteilte Sorgerecht ein und das würde ich bestimmt nicht wollen.
Frage: ist es wirklich so geregelt, dass der Vater nichts machen muss, keine Initiative oder Interesse zeigen muss, keine Bindung zum Kind hat und trotzdem muss man das Kind einfach mitgeben, obwohl keine gefestigte Bindung vorhanden ist? Ich habe einfach nur Angst um meine Tochter. Ich habe dem KV so oft schon gesagt, er soll doch mehr Zeit mit ihr verbringen und dann ist es kein Problem, dass er die Kleine auch alleine hat. Aber er ignoriert alles vollkommen was ich sage und schreibe. Er geht auf nichts ein. Ich weiß nicht wie ich so weitermachen soll, auf Dauer macht mich das kaputt. Es ist keine Kommunikation mit ihm möglich, da er alles was ich sage, ignoriert. Generell ist es mir wirklich egal, was er macht, er interessiert mich nicht mehr, aber wenn es um meine Tochter geht, bin ich wirklich in Sorge, da schon so viel vorgefallen ist, was ihre Sicherheit gefährdet. Und das alles sieht er nicht bzw. stellt mich als Lügnerin dar.
Habt ihr Tipps?
Danke