Kann man Vater auf der Geburtsurkunde schreiben lassen?

Wenn ihr nicht verheiratet seit - hast du automatische das alleinige Sorgerecht.

Ob er auf der Geburtsurkunde steht - ist rechtlich egal.
Später vielleicht fürs Kind emotional blöd, wenn da niemand steht.

Unterhalt muss es trotzdem zahlen - hier kannst du eine kostenlose Beistandschaft beim Jugendamt beantragen - die kümmern sich dann die nächsten 18-25 Jahre um das Thema und für die Zwischenzeit kannst du Unterhaltsvorschuss beantragen.

Das Jugendamt schreibt ihn dann zur Vaterschaftsanerkennung an - das kann er freiwillig machen oder es geht vor Gericht zur Vaterschaftsfeststellung.