Wie läuft das mit dem Vaterschaftsstest??

Hallo ihr lieben,
habe dieses Forum gerade entdeckt. weiß zwar nicht genau ob es wirklich hier rein passt, aber ein Versuch ist es ja Wert :)

Also folgendes: Ich erwarte mein drittes Kind und unsicher ist eben wer der Vater ist. Wie läuft es dann im KH bzw Standesamt ab? Es haben sich beide Männer bereit erklärt einen Test mitzumachen und dann auch die Vaterschaft anzuerkennen. Wer zahlt diese?? Und wie ist es dann mit der Geburtsurkunde?
Sollte sich herausstellen das die "bessere" person der Papa ist kann dann auch noch später der Nachname geändert werden?

Bin Dankbar über jede Antwort und bitte keine Vorwürfe ( es ist eben nicht alles im Leben planbar)