Ob das möglich ist, entscheidet nicht das Handy, sondern der E-Mailanbieter

Wenn der E-Mailanbieter diesen Service anbietet, dann funktioniert das auch mit einem Smartphone.

Das Smartphone selbst kann es nicht. Denn es müsste ja dann (so oder so) immer selbst aktualisieren und nachschauen, ob eine E-Mail im Account ist. Das möchtest Du ja nicht...

Prinzipiell gibt ein Smartphone - wenn das gewünscht ist - einen Signalton ab, wen eine neue E-Mail eintrifft.