Frage zu gesetzlicher KV plus privater KH Zusatzversicherung

Bei einem normalen KH Aufenthalt ist das so geregelt,
die allgemeine KH Leistung zahlt die gesetzliche KV, also Unterbringungs- und Verflegungspauschale, die private Zusatzversicherung übernimmt den Zwei- oder Einbettzuschlag sowie die Arztrechnungen bei Chefarztwunsch.

Nun folgende Konstellation.
Im normalen KH mit Belegbetten muß ich auf eine Schulter OP bei angerissener Sehne auf eine OP wochenlang warten, da nur an einem Tag in der Woche operiert werden kann.
Die OP zum jetzigen Zeitpunkt bedeutet 2 Tage KH Aufenthalt wenn keine Komplikationen auftreten und ca 4 Wochen AU.
Innerhalb der Wartezeit könnte die Sehne reißen, was einen längeren KH Aufenthalt und mindestens 4 MONATE Arbeitsunfähigkeit (alleine der Arm würde 6 Wochen komplett ruhig gestellte) zur Folge hätte.

In einer Privatklinik könnte die OP schon in kürzester Zeit erfolgen.
Tja, nur möchte die private Zusatzversicherung eine Kostenübernahme der Gesetzlichen anteilig in der Höhe der Kosten die sie in einem normalen KH zahlen würde. Erst dann zahlt sie alle darüber anfallenden Kosten.

Ich kann die allg. KH Leistungen nicht privat aus meiner Tasche zahlen und die private übernimmt den Rest, NEIN, so funktioniert das nicht - obwohl es ja finanziell für die private kein Unterschied wäre.

Meine Güte wie kompliziert, oder?

Wenn ich die Gesetzliche wäre würde ich auf den Deal eingehen, aber ich vermute, -morgen weiß ich mehr - , dass es Probleme geben wird, obwohl der Gesetzlichen keine höheren Kosten enstünden.

Hatte jemand von Euch schon einmal so eine Konstellation und es hat geklappt?

LG
Sabine