Mädchen 4 Jahre - Soziales Verhalten und Freundschaften

Hallo an euch, meine kleine Tochter ist circa 4,5h Jahre alt und ein Einzelkind.
Bis zum 4. Lebensjahr habe ich mir nie große Sorgen um die Soziale Entwicklung / Freundschaft mit anderen Kindern gemacht, denn mir ist bewusst dass die meisten Kinder vorher dazu noch nicht wirklich in der Lage sind.

Was den Umgang mit mir und meiner Lebenspartnerin betrifft ist unsere Kleine vom Sternzeichen und Charakter her ein regelrechter "Löwe". Sie lässt sich absolut nichts sagen, will alles selbst entscheiden, stellt alles in Frage und spricht wie am Fließband über Gott und die Welt. Sie involviert uns bei den meisten Spielen die sie machen will, und sagt uns oft dass wir ihre besten Freunde sind.

Nach außen hin, also in der KiGa, Spielplatz und mit anderen ist sie aber das totale Gegenteil, ein schüchternes "Kätzchen". Sie ist anderen Kindern gegenüber total verschlossen, spielt am liebsten immer alleine. Wenn wir sie irgendwie dazu bringen, mit anderen zu spielen, wird sie sofort traurig und schmollt wenn ihr eine Kleinigkeit am Spiel nicht gefällt. Es muss alles ablaufen wie sie es sagt, ansonsten ist es sofort aus und vorbei. Und die anderen Kinder spielen deshalb nicht weiter mit ihr habe ich das Gefühl.

Dann noch ein anderes merkwürdiges Verhalten - neulich ist ihr beim spazieren gehen ein kleines wildfremdes Mädchen über den Weg gelaufen, und unsere Kleine geht auf dem Mädchen zu und sagt zu ihr "du bist meine beste Freundin". Ich frage mich ob das verzweifelte Versuche sind, mit gleichaltrigen einen Kontakt herzustellen - wie soll ich damit umgehen? Es erscheint in den Augen anderer Personen als komisches Verhalten und vielleicht fragt sich der eine oder andere auch ob unsere Kleine nicht ganz richtig tickt? :-(

Vielleicht mache ich mir da als Vater einfach nur zuviele Sorgen über dieses Verhalten und das löst sich irgendwann von selbst? Vielleicht muss ich etwas ändern im täglichen Alltag. Mehr Distanz entwickeln, also mehr die Elternrolle übernehmen - im Sinne ich bin nicht dein Spielfreund sondern ein Elternteil?

Vielen Dank und liebe Grüsse